Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010且对任意x∈R，有f（x+2）-f（x）≤3.2^x，f（x+6）-f（x）≥3.2^x，则f（2010）=

1. A.
   2²⁰⁰⁸+2007
2. B.
   2²⁰⁰⁹+2008
3. C.
   2²⁰¹⁰+2009
4. D.
   2²⁰¹¹+2010

Answer 1

C
分析：先根据f（x+2）-f（x）≤3.2^x，f（x+6）-f（x）≥3.2^x求得f（x+2）-f（x）=3×2^x，然后利用叠加法与等比数列求和公式求出f（2010）的值即可．
解答：由f（x+2）-f（x）≤3×2^x得．f（x+4）≤f（x+2）+12×2^x≤f（x）+15×2^x
由f（x+6）-f（x）≥63×2^x得，f（x+4）≥f（x-2）+63×2^x-2
所以f（x-2）+63×2^x-2≤f（x）+15×2^x
等价于f（x）+63×2^x≤f（x+2）+60×2^x
即f（x+2）-f（x）≥3×2^x
所以f（x+2）-f（x）=3×2^x
∴f（2010）=f（2010）-f（2008）+f（2008）-f（2006）+…+f（2）-f（0）+f（0）
=3×2²⁰⁰⁸+3×2²⁰⁰⁶+…+3×2⁰+2010
=2²⁰¹⁰+2009
故选C
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用夹逼关系求出递推关系和等比数列求和，同时考查了叠加法，属于中档题．