Question

【题目】定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）函数在上的最大值.

【解析】

【试题分析】

解：（1）当时， ，

令，得，

当变化时， 的变化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

由上表可知，函数的递减区间为，递增区间为.

（2），令，得，

令，则，所以在上递增，

所以，从而，所以，

所以当时， ；当时， ；

所以.

令，则，令，则，

所以在上递减，而，

所以存在使得，且当时， ；当时， ，所以在上单调递增，在上单调递减.

因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”.

综上，函数在上的最大值.