【题目】已知函数(
,
),曲线
在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)已知满足的常数为
.令函数
(其中
是自然对数的底数,
),若
是
的极值点,且
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
.(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)由导函数与切线方程的关系可得,
.
(2)利用题意构造新函数
,结合新函数的性质即可证得
;
(3)由题意,
当时,
无极值,不符合题意;
当时,
是函数
的唯一极值点,也是它的唯一最大值点,可得
.
由题意考察函数,可得
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)的导函数
,
由曲线在
处的切线方程为
,知
,
,
所以,
.
(Ⅱ)令
,则
,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
所以,当时,
取得极小值,也即最小值,该最小值为
,
所以,即不等式
成立.
(Ⅲ)函数(
),则
,
当时,
,函数
在
内单调递增,
无极值,不符合题意;
当时,由
,得
,
结合,
在
上的图象可知,关于
的方程
一定有解,其解为
(
),且当
时,
,
在
内单调递增;当
时,
,
在
内单调递减.
则是函数
的唯一极值点,也是它的唯一最大值点,
也是
在
上的唯一零点,即
,则
.
所以
.
由于恒成立,则
,即
,(*)
考察函数,则
,
所以为
内的增函数,且
,
,
又常数满足
,即
,
所以, 是方程
的唯一根,
于是不等式(*)的解为,
又函数(
)为增函数,故
,
所以的取值范围是
.
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【题目】定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆
是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆
的长轴长是4,椭圆
短轴长是1,点
分别是椭圆
的左焦点与右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆
于点
,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB、AD的中点.
(1)求证:EF平行平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1
(3)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值.
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【题目】已知圆:
过圆上任意一点
向
轴引垂线垂足为
(点
、
可重合),点
为
的中点.
(1)求的轨迹方程;
(2)若点的轨迹方程为曲线
,不过原点
的直线
与曲线
交于
、
两点,满足直线
,
,
的斜率依次成等比数列,求
面积的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥,侧面
是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为棱
上的动点,且
.
(I)求证: 为直角三角形;
(II)试确定的值,使得二面角
的平面角余弦值为
.
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【题目】公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出
的值为 ( )
(参考数据: )
A. B.
C.
D.
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