Question

【题目】如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.

(I)求证： 为直角三角形；

(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

Answer 1

【答案】（1）见解析；(II) .

【解析】试题分析：（1）取中点,连结,以为原点， 为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明为直角三角形；（2）设，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因为,所以，即,

从而为直角三角形.

说明:利用 平面证明正确,同样满分!

(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则

,

由可得点的坐标

所以,

设平面的法向量为，则,

即解得，

令，得，

显然平面的一个法向量为,

依题意，

解得或（舍去），

所以，当时，二面角的余弦值为.

[传统法]由(I)可知平面,所以,

所以为二面角的平面角，

即,

在中， ,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，当时，二面角的余弦值为.