【题目】函数,.
(Ⅰ)讨论的极值点的个数;
(Ⅱ)若对于,总有.(i)求实数的范围; (ii)求证:对于,不等式成立.
【答案】见解析.
【解析】【试题分析】(Ⅰ)先运用求导法则求函数的导数,再分类进行探求; (Ⅱ)先将不等式进行等价转化,再构造函数借助导数的有关知识进行推证:
(Ⅰ)解法一:由题意得, 令
(1)当,即时,对恒成立
即对恒成立,此时没有极值点;…………2分
(2)当,即
①时,设方程两个不同实根为,不妨设
则,故
∴时;在时
故是函数的两个极值点.
②时,设方程两个不同实根为,
则,故
∴时,;故函数没有极值点. ……………………………4分
综上,当时,函数有两个极值点;
当时,函数没有极值点. ………………………………………5分
解法二:, …………………………………………1分
,
当,即时,对恒成立,在单调增,没有极值点; ……………………………………………………………3分
②当,即时,方程有两个不等正数解,
不妨设,则当时,增;时,减;时,增,所以分别为极大值点和极小值点,有两个极值点.
综上所述,当时,没有极值点;
当时,有两个极值点. ………………………………5分
(Ⅱ)(i),
由,即对于恒成立,设,
,
,时,减,时,增,
,. ……………………………………9分
(ii)由(i)知,当时有,即:,……①当且仅当时取等号, ……………………………10分
以下证明:,设,,
当时减,时增,
,,……②当且仅当时取等号;
由于①②等号不同时成立,故有.……………………………12分
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点,且.
(1)求二面角的大小;
(2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得平面?若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图:
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
(1)将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?
(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动.
(i)共有多少种不同的抽取方法?
(ii)求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
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【题目】如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于表示空气质量优良,空气质量指数大于表示空气重度污染.
(1)若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,到达后停留天(到达当日算天),求此人停留期间空气重度污染的天数为天的概率;
(2)若该人随机选择3月7日至3月12日中的天到达该市,求这天中空气质量恰有天是重度污染的概率.
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【题目】定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4,椭圆短轴长是1,点分别是椭圆的左焦点与右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
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