Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx-sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，若方程|f（x）|=m有两个不等的实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，并化简，从而求出函数的最小正周期即可；
（2）根据正弦函数的性质解关于x的不等式，求出函数的递增区间即可；
（3）画出函数y=|f（x）|的图象，结合图象求出m的范围即可．

解答 解：（1）由已知得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+2sinx（cosx-sinx）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
交点：-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
故f（x）的递增区间是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈z）；
（3）画出函数y=|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的简图如下所示：
，
当m∈（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）时，直线y=m和y=|f（x）|的图象在[0，$\frac{π}{2}$]上有2个不同的交点，
故方程|f（x）|=m有2个不同的实数根，
故m的范围是（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、周期问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．