Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，且c=

7

，则△ABC的面积的最大值为

7 3

4

．

Answer 1

分析：根据已知，由倍角公式及降幂公式，结合特殊角的三角函数值，可得c=60°，再由余弦定理，基本不等式及三角形面积公式，可得答案．

解答：解：∵A+B+C=180°
由4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

得4cos²

C

2

-cos2C=

7

2

，
∴4×

1+cosC

2

-（2cos²C-1）=

7

2

，即4cos²C-4cosC+1=0
解得cosC=

1

2

又∵0°＜C＜180°，
∴c=60°；
则sinC=

3

2

由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab≥ab
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC≤

1

2

•7•

3

2

=

7 3

4

故△ABC的面积的最大值为

7 3

4

故答案为：

7 3

4

点评：本题考查的知识点是三角形的面积公式，三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握三角函数的相关公式，是解答的关键．