Question

【题目】已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.

（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；

（2）当时，求函数的解析式；

（3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），()； （2）. （3）.

【解析】

(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围.

(1)函数的最小正周期为，

令，解得对称轴为；

(2)①当时，在区间上，，

，所以

②当时，在区间上，，

，所以，

③当时，在区间上，，

，所以，

所以当时，；

(3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以

即函数的周期为4，

由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，

已知有解，即，则，

若对任意，存在，使得成立，

则在上的值域是在上的值域的子集，

，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，

因为在上单调递增，所以，

所以，即.