【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点( ,1),以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点(﹣1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,试问在x轴上是否存在一个定点M,使得 恒为定值?若存在,求出该定值及点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由圆的方程x2+y2=b2,由椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点,则b=c,
∴a2=2b2,
将( ,1)代入椭圆方程 ,解得:b2=2,则a2=4,
∴椭圆的标准方程: ;
(2)
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0),
当直线k的斜率存在,设直线l的方程为:y=k(x+1),
则 ,整理得:(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
则y1y2=k(x1+1)×k(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=k2( ﹣ +1)=﹣ ,
=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=[ ﹣m×(﹣ )+m2]+(﹣ ),
= = 为定值,
则 = ,解得:m=﹣ ,
则 =﹣ ,
当直线l的斜率k不存在时,点A(﹣1, ),B(﹣1,﹣ ),
此时,当m=﹣ 时,则 =(﹣1﹣m)(﹣1﹣m)﹣ =﹣ ,
综上可知:存在点M(﹣ ,0),使得 =﹣ .
【解析】(1)由题意可知:b=c,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当斜率存在时,代入椭圆方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,由 恒为定值即可求得m的值,求得 的值及M点坐标;当直线l的斜率k不存在时,点A(﹣1, ),B(﹣1,﹣ ),则m=﹣ 时,求得 的值及M点坐标.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】已知数列{an},an=(2n+m)+(﹣1)n(3n﹣2)(m∈N* , m与n无关),若 a2i﹣1≤k2﹣2k﹣1对一切m∈N*恒成立,则实数k的取值范围为 .
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【题目】给定命题p:“若a2017>﹣1,则a>﹣1”;命题q:“x∈R,x2tanx2>0”,则下列命题中,真命题的是( )
A.p∨q
B.(¬p)∨q
C.(¬p)∧q
D.(¬p)∧(¬q)
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【题目】若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)﹣ex的一个零点,则下列函数中,﹣x0一定是其零点的函数是( )
A.y=f(﹣x)e﹣x﹣1
B.y=f(x)ex+1
C.y=f(x)ex﹣1
D.y=f(﹣x)ex+1
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【题目】某地区拟建立一个艺术搏物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中4道题目,而乙公司能正面回答每道题目的概率均为 ,甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立,互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
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【题目】已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10.
(1)求a+b+c的值;
(2)求 (a﹣1)2+(b﹣2)2+(c﹣3)2的最小值,并求出此时a、b、c的值.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0 , 2 )(x0> )为圆心的圆与线段MF相交于点A,且被直线x= 截得的弦长为 | |,若 =2,则| |= .
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