Question

15．如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）求$\frac{SE}{EB}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A-DE-C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A-DE-C的大小．

解答 解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB=$\sqrt{S{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$，DE=$\frac{SD•DB}{SB}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
EB=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，SE=SB-EB=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以$\frac{SE}{EB}$=2．
（Ⅱ）SA=$\sqrt{S{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=$\sqrt{（\frac{1}{3}SA）^{2}+（\frac{2}{3}AB）^{2}}$=1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
连接AG，AG=$\sqrt{2}$，FG=$\sqrt{D{G}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
cos∠AFG=$\frac{A{F}^{2}+F{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AF•FG}$=-$\frac{1}{2}$，
所以，二面角A-DE-C的大小为120°．

点评 本题考查两线段长比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．