Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

．

Answer 1

证明：由已知，得S_n=3ⁿ-1
要证明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

等价于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即3ⁿ≥2n+1（*）
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3^k≥2k+1
那么当n=k+1时，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3ⁿ≥2n+1

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

（法二）当n=1时，左边=，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

所以

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n