【题目】如图,在直三棱柱中,点分别在棱上(均异于端点),且.
(1)求证:平面平面;
(2)求证: 平面.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1) 利用面面垂直的判定定理,只需证明一个平面经过另一个平面的垂直,证明平面即可;(2 )利用线面平行的判定定理,只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线,证明即可.
试题解析:
(1)在直三棱柱中, 平面,因为平面,所以.
又, , 平面,所以平面,
又平面,所以平面平面;
(2)因为,由(1)同理可得, 平面,
又由(1)知, 平面,
所以,
又平面, 平面,
所以平面.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理,属于中档题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
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【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为,满足,且,公比大于1的等比数列满足, .
(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)若,求数列的前n项和;
(3)在(2)的条件下,若对一切正整数n恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
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【题目】已知椭圆的焦距为,其上下顶点分别为,点.
(1)求椭圆的方程以及离心率;
(2)点的坐标为,过点的任意作直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率依次成等差数列,探究之间是否存在某种数量关系,若是请给出的关系式,并证明;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示,下列关于的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
④当时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形为矩形,直线平面,,,,点在棱上.
(1)求证:;
(2)若是的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(3)若,求二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆: 的离心率,左、右焦点分别为, ,点满足: 在线段的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若斜率为()的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、,且,求的取值范围.
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【题目】 “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了人,按年龄分成5组(第一组:,第二组,第三组:,第四组:,第五组:),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
(1)求;
(2)求抽取的人的年龄的中位数(结果保留整数);
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1-5组,从这5个按年龄分的组合5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩,年龄组中1-5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1-5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
(i)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
(ii)以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想.
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