Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（Ⅰ）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间及对称轴方程；
（Ⅲ）在△ABC中，若A＜B，f(A)=f(B)=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两家和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性及对称性即可确定出函数f（x）的单调区间及对称轴方程；
（Ⅲ）令f（x）=

1

2

，求出A与B的度数，确定出C的度数，所求式子利用正弦定理化简，即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
∵0＜x＜

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，
当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1；
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得到kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z；
令2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z，
则f（x）单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，对称轴方程为x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z；
（III）由f（x）=sin（2x-

π

3

），
若x是三角形的内角，则0＜x＜π，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

，
令f（x）=

1

2

，得sin（2x-

π

3

）=

1

2

，∴2x-

π

3

=

π

6

或

5π

6

，
解得：x=

π

4

或

7π

12

，
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=π-A-B=

π

6

，
又由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，对称性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．