【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数， 
.
（1）求证： 
；
（2）若存在
，使
，求
的取值范围；
（3）若对任意的
恒成立，求
的最小值.
【答案】（1）见解析（2）
或
（3）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得函数的最小值
，所以
.
(2)原问题等价于函数
有零点时的
的取值范围.分类讨论：①当
时， 
有零点.②当
时， 
无零点.③当
时， 
有零点.则
的取值范围是
或
.
(3)原问题即
.构造函数
，其值域为
，且
.结合导函数可得
在
上为减函数，所以
，. 记区间
，构造新函数
，结合题意讨论可得
的最小值为
.
试题解析：
（1）令
，得
，且当
时， 
；当
时， 
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以函数
在
处取得最小值. 因为
，所以
.
（2）设
，题设等价于函数
有零点时的
的取值范围.
①当
时，由
，所以
有零点.
②当
时，
若
，由
，得
；
若
，由（1）知， 
，所以
无零点.
③当
时， 
，又存在
， 
，所以
有零点.
综上， 
的取值范围是
或
.
（3）由题意， 
，因为
，所以
.
设
，其值域为
，
由于
，所以
.
又
，所以
在
上为减函数，所以
，.
记区间
，则
.①
设函数
，
一方面， 
；
另一方面， 
，
存在
， 
所以
，使
，即
，所以
.②
由①，②知， 
，
从而
，即
的最小值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】给出集合
.
（1）若
，求证：函数
；
（2）由（1）分析可知， 
是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命
题：命题甲：集合
中的元素都是周期函数.命题乙：集合
中的元素都是奇函数. 请对此
给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；
（3）若
，数列
满足： 
，且
，数列
的前
项
和为
，试问是否存在实数
、
，使得任意的
，都有
成立，若
存在，求出
、
的取值范围，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
且各阶段通过与否相互独立．
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点A(－2,0)，B(2，0)，曲线C上的动点P满足
.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过定点M(0，－2)的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)若动点Q(x，y)在曲线C上，求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝x2－aln x(a>0)的最小值是1.
(1)求a；
(2)若关于x的方程f2(x)ex－6mf(x)＋9me－x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m的取值范围.
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