试题分析:(Ⅰ)由
是
与
的等比中项可得
,根据等比数列基本量可得到关于
的方程,从而求出
,由
得到数列
的通项公式; (Ⅱ)由题中所给
关于
表达式
化简得用
表示
的表达式,即
,这样可联想到去求出
,利用等差中项可求出
的值,并由此求出
的表达式,最后根据求
的表达式结合等差数列的定义去证明它是一个等差数列; (Ⅲ)由(Ⅰ)知数列
的通项公式,由(Ⅱ)知数列
的通项公式,结合题中要求分析得:
,
,则可得出数列
的大体如下:
,可见数列
的前三项均为
,由此可验证
的具体情况,可得其中
符合题中要求,当
时,分析
不可能为
,因为前面的永大于
,那么要存在
肯定为
,这样就可得到关于
一个假设的等式,并可化简得关于
的表达式
,根据特点可设出对应的函数
,最后由导数在函数中的运用去判断出在
上函数恒为正.
试题解析:解:(Ⅰ)因为
,所以
,
解得
(舍),则
3分
又
,所以
5分
(Ⅱ)由
,得
,
所以
,
则由
,得
8分
而当
时,
,由
(常数)知此时数列
为等差数列 10分
(Ⅲ)因为
,易知
不合题意,
适合题意 11分
当
时,若后添入的数2
,则一定不适合题意,从而
必是数列
中的
某一项
,则
,
所以
,即
13分
记
,则
,
因为
,
所以当
时,
,又
,
从而
,故
在[3,
递增.
则由
知
=0在[3,
无解,
即
都不合题意 15分
综上知,满足题意的正整数仅有m=2 16分