Question

(1)已知函数f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函数f(x)的最大值；
(2)设a_k，b_k(k=1，2，…，n)均为正数，
证明：①若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，则；
②若b₁+b₂+…+b_n=1，则。

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
令，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)内是增函数；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内是减函数；
故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0．
(2)①由(1)知，当x∈(0，+∞)时，有f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1，
∵a_k，b_k＞0，从而有lna_k≤a_k-1，得b_klna_k≤a_kb_k-b_k(k=1，2，…，n)．
求和得，
，
∴，即，
∴。
②(i)先证，
令(k=1，2，…，n)，
则，
于是由①得，即，
∴；
(ii)再证，
记，令(k=1，2，…，n)，
则，
于是由(1)得，
即，
∴；
综合(i)(ii)，②得证．