Question

数列{a_n}、{b_n}的每一项都是正数，a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差数列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂、b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得2b₁=a₁+a₂，

a

2 2

=b1b2，由此能求出a₂、b₂的值．
（Ⅱ）由已知条件推导出2b_n=a_n+a_n+1．

a

2 n+1

=bnbn+1，an+1=

bnbn+1

，由此能求出bn=4(n+1)2，a_n=4n（n+1）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为

1

7

+

1

23

+

1

47

+…+

1

4n2+4n-1

＜

2

7

，可以用三种不同的方法进行证明．

解答： （本题满分14分）
（Ⅰ）解：∵a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差数列，
∴2b₁=a₁+a₂，得a₂=2b₁-a₁=32-8=24．…（1分）
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，
∴

a

2 2

=b1b2，得b2=

a 2 2

b1

=36．…（2分）
（Ⅱ）解：∵a_n、b_n、a_n+1成等差数列，∴2b_n=a_n+a_n+1…①．…（3分）
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，∴

a

2 n+1

=bnbn+1，
∵数列{a_n}、{b_n}的每一项都是正数，∴an+1=

bnbn+1

…②．…（4分）
∴当n≥2时，an=

bn-1bn

…③．…（5分）
将②、③代入①式，得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴数列{

bn

}是首项为4，公差为2的等差数列，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=2n+2，
∴bn=4(n+1)2．…（6分）
由③式得当n≥2时，an=

bn-1bn

=

4n2•4(n+1)2

=4n(n+1)．…（7分）
当n=1时，a₁=8，满足该式子，
∴对一切正整数n，都有a_n=4n（n+1）．…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为

1

7

+

1

23

+

1

47

+…+

1

4n2+4n-1

＜

2

7

．…（9分）
方法一：首先证明

1

4n2+4n-1

＜

2

7

(

1

n

-

1

n+1

)（n≥2）．
∵

1

4n2+4n-1

＜

2

7

(

1

n

-

1

n+1

)?

1

4n2+4n-1

＜

2

7n2+7n

?7n2+7n＜8n2+8n-2，
∴n²+n-2＞0?（n-1）（n+2）＞0，
所以当n≥2时，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

2

7

[(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]＜

1

7

+

2

7

×

1

2

=

2

7

．…（12分）
当n=1时，

1

7

＜

2

7

．…（13分）
综上所述，对一切正整数n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）
方法二：

1

4n2+4n-1

＜

1

4n2+4n-3

=

1

(2n-1)(2n+3)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+3

)．
当n≥3时，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

1

23

+

1

4

[(

1

5

-

1

9

)+(

1

7

-

1

11

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n+1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+3

)]＜

1

7

+

1

23

+

1

4

(

1

5

+

1

7

)＜

1

7

+

1

14

+

1

14

=

2

7

．…（12分）
当n=1时，

1

7

＜

2

7

；当n=2时，

1

7

+

1

23

＜

1

7

+

1

7

=

2

7

．…（13分）
综上所述，对一切正整数n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）
方法三：

1

4n2+4n-1

＜

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
当n≥4时，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

1

23

+

1

47

+

1

2

[(

1

7

-

1

9

)+(

1

9

-

1

11

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]＜

1

7

+

1

23

+

1

47

+

1

14

＜

2

7

．…（12分）
当n=1时，

1

7

＜

2

7

；当n=2时，

1

7

+

1

23

＜

1

7

+

1

7

=

2

7

；
当n=3时，

1

7

+

1

23

+

1

47

＜

1

7

+

1

14

+

1

14

=

2

7

．…（13分）
综上所述，对一切正整数n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，一题多证能够培养学生举一反三的能力．