Question

20．曲线y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的切线斜率最大时切线方程是（　　）

• A． x-4y-2=0
• B． x+4y+2=0
• C． x-4y+2=0
• D． x+4y-2=0

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，运用基本不等式求得最大值，及切点，再由斜截式方程，即可得到切线方程．

解答 解：y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的导数为y′=$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$
=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=$\frac{1}{4}$．
当且仅当x=0时，取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有切线斜率最大值为$\frac{1}{4}$，切点为（0，$\frac{1}{2}$），
则切线的方程为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
即为x-4y+2=0．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查基本不等式的运用：求最值，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键．