Question

如图，四棱锥中,，底面为梯形，，，且.（10分）

（1）求证：;

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（1）连结,交于点,连结，由所给条件可得，即，则；（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则可得坐标，设为平面的一个法向量，由

，可得，同理为平面的一个法向量，， 知二面角的余弦值.

试题解析：（1）连结,交于点,连结， ∵，， ∴

又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，

∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴

∴二面角的余弦值为． -------------------10分

方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，设，，，

，，

由，可知：∽，

∴， 代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值为．

考点：线面平行的判定定理，二面角，空间向量的坐标运算.