Question

已知函数（）．

（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；

（2）若对任意的，，总有，求实数的取值范围．

 

Answer 1

(1) ; (2) ．

【解析】

试题分析：(1)首先用配方法求出二次函数的对称轴为，由于，知函数在已知区间是为减函数，要使函数定义域和值域均为，必须且只需 ，从而得到关于a的方程组，解此方程组得实数的值；(2)因为对任意的，，总有，等价于：，所以问题转化为求函数在的最大值和最小值；由于二次函数的开口向上，且对称轴为，所以其最小值一定是，而最大值就是两个端点值所对函数值中的较大者，由二次函数的性质可知：等价于比较两个区间的端点谁离对称轴远些；由此只需按与1的大小进行分类讨论，即可用a的代数式表示出函数在的最大值和最小值，然后代入就可求得a的取值范围．

试题解析：（1）∵（）,

∴在上是减函数，又定义域和值域均为，∴ ，

即 ， 解得 ．

（2）若，又，且，

∴，．

∵对任意的，，总有，

∴， 即 ，解得 ，

又， ∴．

若，

显然成立，

综上．

考点：１．二次函数的单调性与最值；２．分类讨论．