Question

若实数x₁，y₁，x₂，y₂满足（y₁+x₁²-3lnx₁）²+（x₂-y₂+2）²=0，则（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为（　　）

• A、8
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：化简已知条件，得到两个函数，利用厚生的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．

解答： 解：实数x₁，y₁，x₂，y₂满足（y₁+x₁²-3lnx₁）²+（x₂-y₂+2）²=0，
可得y₁=-x₁²+3lnx₁，并且x₂-y₂+2=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值转化为：函数y=-x²+3lnx图象上的点与x-y+2=0图象上的点的距离的最小值，
由y=-x²+3lnx可得y′=-2x+

3

x

．与直线x-y+2=0平行的直线的斜率为1，所以-2x+

3

x

=1，解得x=1，
切点坐标（1，-1），与x-y+2=0平行的直线为：y+1=x-1，即x-y-2=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为：(

|2+2|

1+1

)2=8．
故选：A

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查计算能力以及转化思想．