Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： =1（a＞b＞0），其中b= a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；
（2）过P点作斜率为k1 ， k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．

∴c=1，又b= a，a2=b2+c2，

联立解得：a=2，b= ．

∴椭圆方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

AC：y=k1（x﹣1）+1，与椭圆联立，得 ，

∴ ，

，

同理， ．

故 ，∴k1+k2=0．

【解析】（1）由题意可得：c=1，又b= a，a2=b2+c2 ， 联立解出即可得出．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，BD：y=k2（x﹣1）+1，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．