Question

【题目】如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．
（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；
（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；
（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，
∴平面ABF∥平面DCE，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，
∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF= ，由相似比得 ，即 ，得x=4
（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD= ，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，
则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD= ，
∵BD2+BC2=CD2 ，
∴BC⊥BD．
∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，
又∵ED∩BD=D，
∴BC⊥平面BDE．
又∵BC平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BEC．
（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，
∵x=2，∴CD=2，
则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），
=（1，0，0）， =（1，1，﹣1）， =（0，2，﹣1），
设平面EF的一个法向量为 =（x，y，z），
则由 得 ，则取 =（0，1，1），
设平面EBC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，得 ，令y=1，则z=2，x=1，即 =（1，1，2），
则cos＜ ， ＞= = = ，
则＜ ， ＞=30°，
∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，
∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．

【解析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ） 根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．