Question

设（

2

-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）²的值．

Answer 1

分析：令x=1可得：a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=(

2

-1)10，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉+a₁₀=(

2

+1)10．求得 a₀+a₂+…+a₁₀ 和a₁+a₃+…+a₉ 的值，
可得 （a₀+a₂+…+a₁₀）²和（a₁+a₃+…+a₉）² 的值，从而求得（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₂+…+a₉）²的值．

解答：解：令x=1可得：a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=(

2

-1)10，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉+a₁₀=(

2

+1)10．
由以上两式可得 a₀+a₂+…+a₁₀ =

( 2 -1)10+( 2 +1) 10

2

，a₁+a₃+…+a₉=

( 2 -1)10-( 2 +1) 10

2

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）² =

( 2 -1)20+( 2 +1) 20+2

4

，（a₁+a₃…+a₉）²=

( 2 -1)20+( 2 +1) 20-2

4

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）² =

( 2 -1)20+( 2 +1) 20+2

4

-

( 2 -1)20+( 2 +1) 20-2

4

=1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．