Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求0B与平面OCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取OB的中点E，连接ME，NE，由ME∥AB，AB∥CD，知ME∥CD，由此能够证明MN∥平面OCD．
（2）求出B到平面OCD的距离，OB，即可求出0B与平面OCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：取OB的中点E，连接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∵NE∥OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD；
（2）解：先求出B点到平面OCD距离，即A点到平面OCD距离．
∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵OP=

OD2-DP2

=

3 2

2

，AD=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2

3

，所以点B到平面OCD的距离为

2

3

．
∵OB=

5

，
∴0B与平面OCD所成角的正弦值为

2 5

15

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，求点到平面的距离，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．