Question

若a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

解：△ABC中，∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C． 再由A+B+C=180°可得，B=60°，A+C=120°．
由a，b，c成等比数列可得b²=ac，由正弦定理可得sin²B=sinAsinC，
即 =sinAsin（120°-A）=sinAcosA+sin2A=sin2A-+．
整理可得，sin（2A-30°）=1，故有 A=60°，
∴B=C=60°，故△ABC是等边三角形．
分析：由已知角A，B，C成等差数列可求B=60°，A+C=120°，再由a，b，c成等比数列可得b²=ac，结合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用二倍角及辅助角公式整理可得sin（2A-30°）=1，
故有 A=60°，故B=C=60°，从而得到△ABC是等边三角形．
点评：解三角形的常见类型是结合正弦定理、余弦定理，三角形的内角和、大边对大角等知识综合应用，而二倍角公式及辅助角公式是经常用到的公式，要注意掌握，属于中档题．