Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n（n≥1），则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和等于（　　）

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{n-1}{n}$
• C． $\frac{1}{n}$
• D． $\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，推导出a_n=n，从而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n（n≥1），
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}×{1}^{2}+\frac{1}{2}×1$=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$）-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）$]=n，
n=1时，上式成立，
∴a_n=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故选：A．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．