Question

如图，E，F，G，H分别为正方体AC₁的棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，D₁C₁的中点，
1）求证：面AEF∥面BDHG；
2）求对角线AC₁与底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：1）连结D₁B₁，由已知条件得到EF∥GH，且AE∥DH，由此能够证明面AEF∥面BDHG．
2）连结AC，AC₁，由C₁C⊥底面ABCD，得到∠C₁AC是AC₁与底面ABCD所成的角，由此能求出结果．

解答： 解：1）连结D₁B₁，
∵E，F，G，H分别为正方体AC₁的棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，D₁C₁的中点，
∴EF∥D₁B₁，GH∥D₁B₁，AE∥DH，
∴EF∥GH，且AE∥DH，
∵AE∩AF=A，GH∩DH=H，
∴面AEF∥面BDHG．
2）连结AC，AC₁，∵C₁C⊥底面ABCD，
∴∠C₁AC是AC₁与底面ABCD所成的角，
设正方体AC₁的棱长为a，
则C₁C=a，AC=

2

a，AC₁=

3

a，
∴sin∠C₁AC=

C1C

AC1

=

3

3

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．