Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图象的一个最高点为（-

π

12

，2）与之相邻的与x轴的一个交点为（

π

6

，0）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调减区间和函数图象的对称轴方程；
（3）用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期区间上的图象．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：计算题,综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，知A=2，

T

4

=

π

4

，于是可求得ω=2；f（x）=2sin（2x+φ）过点（-

π

12

，2），|φ|＜π，可求得φ，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数y=f（x）的单调减区间和函数图象的对称轴方程；
（3）令2x+

2π

3

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，得到对于的自变量x的值及函数值y的值，列表，描点、作图即可．

解答： （1）由题意，A=2，

T

4

=

π

6

-（-

π

12

）=

π

4

，
∴T=

2π

ω

=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），将（-

π

12

，2）代入，得sin（-

π

6

+φ）=1，
∵|φ|＜π，故φ=

2π

3

，
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

2π

3

）．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

2π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴函数的单调减区间是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）；
由2x+

2π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z）．
（3）①列表

x	- π 3	- π 12	π 6	5π 12	2π 3
2x+ 2π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	2	-2	0	2

②描点画图

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查正弦函数的单调性与对称性的综合应用，属于难题．