Question

已知关于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有实数根，则实数a的取值范围是

[0，2]

．

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）=-x²+2x的图象和直线y=|a-1|的图象在x∈(

1

2

，2]上恒有交点，数形结合可得|a-1|≤1，从而求得a的范围．

解答：解：由于函数f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，故函数f（x）的值域为（-∞，1]．
根据已知关于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有实数根，
的图象和直线y=|a-1|的图象在x∈(

1

2

，2]上恒有交点，如图所示：
故有|a-1|≤1，即-1≤a-1≤1，解得 0≤a≤2，
故答案为[0，2]．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．