Question

12．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且${a_1}=-1，\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，则S_n=$-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，可得$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=S_n，$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，∴$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=S_n，化为：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为-1，公差为-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
故答案为：$-\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．