Question

4．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆$ρ=4sin（{θ+\frac{π}{6}}）$被射线θ=θ₀（ρ≥0，θ₀为常数，且${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$）所截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求θ₀的值．

Answer 1

分析 由已知可得圆的标准方程为：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，射线直角坐标方程可以设为y=kx，根据射线被圆所截得的弦长为2$\sqrt{3}$，可得k值，进而得到θ₀的值．

解答 解：圆$ρ=4sin（{θ+\frac{π}{6}}）$即$ρ=2\sqrt{3}sinθ+2cosθ$，即${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ+2ρcosθ$
的直角坐标方程为：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y+2x$，
即$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，
射线θ=θ₀，（θ₀为常数，且${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$）的直角坐标方程可以设为y=kx（x≥0，k＞0），
则圆心到直线的距离d=$\frac{|k-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
根据题意得：2$\sqrt{4-（\frac{|k-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即tanθ₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$
故θ₀=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．