Question

如图．P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=

5

PB=

10

PC=2

2

，且点E，F分别在线段PB，PA上满足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求证：△ABC为锐角三角形； 
（Ⅱ）求多面体ECAB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由题意作PD垂直AB于D，连结CD，由线面垂直的定义和判定定理证明AB⊥CD，得∠CAB与∠CBA都是锐角，同理∠ACB是锐角，即可证明△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）根据几何体的特点利用割补法将多面体ECAB的体积表示出来，再由三棱锥的体积公式和条件求出多面体ECAB的体积．

解答： （Ⅰ）证明：过点P作PD垂直AB于D，连结CD，
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PB∩PA=P，
∴PC⊥平面PAB，
∵AB?平面ABC，∴AB⊥PC，
又∵PD⊥AB，且PC∩PD=P
∴AB⊥平面PDC，
∵CD?平面ABC，∴AB⊥CD，
∴∠CAB与∠CBA都是锐角，
同理∠ACB是锐角，
∴△ABC为锐角三角形，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，PC⊥平面PAB，
∵PA⊥PB，且PA=

5

PB=

10

PC=2

2

，
∴△PAB的面积S_△PAB=

1

2

×PA×PB=

4 5

5

，PC=

2 5

5

，
∵PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
∴△PEF的面积S△PEF=

1

2

×PE×PF=

1

2

×

1

3

×PA×

2

5

×PB=

2

15

×

4 5

5

，
则V_C-BEFA=V_C-PAB-V_C-PEF=

1

3

×S△PAB×PC-

1

3

×S△PEF×PC
=

1

3

×

13

15

×

4 5

5

×

2 5

5

=

104

225

．

点评：本题考查了线面垂直的定义和判定定理的应用，三棱锥的体积公式，以及割补法求不规则几何体的体积．