Question

设数列的前项和为，已知（，为常数），，，（1）求数列的通项公式；（2）求所有满足等式成立的正整数，.

 

Answer 1

（1）（）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由取n=1，及 ，，可求得，再由构造两个关系相减求得与关系，进而知道为等比数列，从而可求得通项公式；（2）由（1），得，代入，同时注意变形技巧，易得n与m的关系，注意到，为正整数，以m为分类标准进行讨论，进而求得n与m的值.

试题解析：（1）由题意，得，求得．所以， ①

当时， ②

①－②，得（），又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

故的通项公式为（）.

（2）由（1），得，由，两边倒数，且有，因此得，化简得，即，即．（*）因为，所以，所以，因为，所以或或.

当时，由（*）得，所以无正整数解；

当时，由（*）得，所以无正整数解；

当时，由（*）得，所以.综上可知，存在符合条件的正整数.

考点：1，与的关系：；2，等比数列通项公式，前n项和公式；3，分类讨论思想.