Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，问题转化成恒成立问题，根据基本不等式得到结果．
（2）由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，把这个根代入得到字母系数的值，求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
则有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）内恒成立，
又

3x

2

+

3

2x

≥3（当且仅当x=1时，取等号），所以a≤3
（2）由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，
所以f'（x）=3x²-10x+3=0的根为x=3或 x=

1

3

（舍去），
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．

点评：本题考查导数的应用，求极值和求最值，本题是一个适合文科学生做的解答题目，对于理科学生知识点有点单一，需要加上其他的知识点．