Question

11．如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，侧面ABB₁A₁是矩形，M，N分别是AC，BB₁的中点．
（1）证明：MN∥面A₁B₁C；
（2）证明：面A₁B₁C⊥面BCC₁B₁．

Answer 1

分析 （1）取A₁A的中点E，连接NE，ME，证明平面MNE∥面A₁B₁C，即可证明MN∥面A₁B₁C；
（2）通过证明在与平面垂直，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．

解答 （1）证明：取A₁A的中点E，连接NE，ME，则NE∥A₁B₁，
∵NE?面A₁B₁C，A₁B₁?面A₁B₁C，
∴NE∥面A₁B₁C．
∵M是AC的中点，
∴ME∥A₁C，
∵ME?面A₁B₁C，A₁C?面A₁B₁C，
∴ME∥面A₁B₁C．
∵NE∩ME=E，
∴平面MNE∥面A₁B₁C．
∵MN?平面MNE，
∴MN∥面A₁B₁C；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，可得AB⊥BC，
侧面ABB₁A₁是矩形，可得AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．
∵A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁B₁?平面A₁B₁C，
∴面A₁B₁C⊥面BCC₁B₁．

点评 本题考查线面、面面平行以及垂直的判定，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．