Question

（2001•上海）设数列{a_n}是公比为q＞0的等比数列，S_n是它的前n项和，若

lim

n→+∞

Sn=7，则此数列的首项a₁的取值范围为

（0，7）

．

Answer 1

分析：无穷递缩等比数列前n项和的极限存在，推出

lim

n→+∞

Sn=

a1

1-q

=7，根据q的范围，求出数列的首项a₁的取值范围即可．

解答：解：若该等比数列是一个递增的等比数列，则Sn不会有极限． 因此这是一个无穷递缩等比数列，
设公比为q，则0＜|q|＜1 亦即，-1＜q＜0且0＜q＜1．
而等比数列前n项和Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
由于其中0＜q＜1，因此

lim

n→∞

qn=0，
而根据极限的四项运算法则有，

lim

n→+∞

Sn= 

a1

1-q

 =7，
因此a₁=7（1-q）=7-7q 解得a₁∈（0，7）．
故答案为：（0，7）．

点评：本题是中档题，考查等比数列前n项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．