Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点Q(0，

3

2

)，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

Answer 1

解 （1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则b=1．
设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得3=

|c-0+2 2 |

2

，得c=

2

．
则a²=b²+c²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；
故可设直线l：y=kx+

3

2

(k≠0)，与椭圆

x2

3

+y2=1联立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+

15

4

=0．
由△=(9k)2-4(1+3k2)•

15

4

＞0，得k2＞

5

12

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
由韦达定理得x1+x2=-

9k

1+3k2

，而y1+y2=k(x1+x2)+3=-

9k2

1+3k2

+3．
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，kBP=

y0+1

x0

=

y1+y2 2 +1

x1+x2 2

=

- 9k2 1+3k2 +5

- 9k 1+3k2

=-

1

k

，
可求得k2=

2

3

，检验k2=

2

3

∈(

5

12

，+∞)，所以k=±

6

3

，
所以直线l的方程为y=

6

3

x+

3

2

或y=-

6

3

x+

3

2

．