Question

5．设f（x）=$\frac{{2}^{x+4}}{{4}^{x}+8}$，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 令t=2^x（t＞0），即有y=f（x）=$\frac{16t}{{t}^{2}+8}$=$\frac{16}{t+\frac{8}{t}}$，运用基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：令t=2^x（t＞0），
则y=f（x）=$\frac{16t}{{t}^{2}+8}$=$\frac{16}{t+\frac{8}{t}}$≤$\frac{16}{2\sqrt{t•\frac{8}{t}}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=2$\sqrt{2}$，即x=$\frac{3}{2}$时，取得最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．