Question

16．设椭圆的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），椭圆上的点M与两个焦点所构成的三角形的周长为32，求椭圆的标准方程，并作出图形．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．由椭圆可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{2a+2c=32}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由椭圆可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{2a+2c=32}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c=5，a=11，b²=96．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{96}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．