Question

6．设变量x，y满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，则目标函数$z=\frac{2x+y+1}{x}$的取值范围是[3，5]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质结合直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
$z=\frac{2x+y+1}{x}$=2+$\frac{y+1}{x}$，
设k=$\frac{y+1}{x}$，则k的几何意义为区域内的点到定点D（0，-1）的斜率，
由图象可知BD的斜率最小，AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（2，1）．
此时k=$\frac{1+1}{2}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2）
k=$\frac{2+1}{1}=3$，
即1≤k≤3，
则3≤k+2≤5，
即3≤z≤5，
故答案为：[3，5]；

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质结合直线斜率的几何意义是解决本题的关键．注意数形结合．