Question

4．设m＞1在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3，目标函数z=2x-y的最小值为$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，先根据目标函数z=x+5y的最大值为4，求出m的值，然后根据目标函数的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
作出直线z=x+5y=4，
则点A是最优解，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+5y=4}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
同时A也在直线y=mx上，
则$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$，解得m=3，
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，则由图象知当直线经过点A时直线的截距最大，此时z最小，
即z=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$=$-\frac{1}{4}$，
故答案为：3，$-\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．