Question

6．已知f（x）=$\frac{n}{m+x}$，集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（x-2）+x=0}．
（1）若A={3}，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求集合B．

Answer 1

分析 （1）由题意得n=3m+9，从而化简x-$\frac{n}{m+x}$=$\frac{（x-3）（x+m+3）}{m+x}$，从而求得；
（2）由（1）知f（x）=-$\frac{9}{x-6}$，从而化简f（x-2）+x=-$\frac{9}{x-2-6}$+x=0，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{n}{m+x}$=x，
∴$\frac{n}{m+3}$=3，
∴n=3m+9，
∴x-$\frac{n}{m+x}$=$\frac{{x}^{2}+mx-3（m+3）}{m+x}$
=$\frac{（x-3）（x+m+3）}{m+x}$，
∵A={3}，
∴m+3=-3，
∴m=-6，n=-9；
（2）由（1）知，f（x）=-$\frac{9}{x-6}$，
f（x-2）+x=-$\frac{9}{x-2-6}$+x=0，
即$\frac{（x-9）（x+1）}{x-8}$=0，
解得，x=9或x=-1；
故B={9，-1}．

点评 本题考查了函数的化简与应用，同时考查了集合的运算．