Question

15．已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]，求出g（x）的解析式和g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用指数函数的性质求出a的值，然后求g（x）的解析式；根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数求最值．

解答 解：∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=9•3^a=18，
即3^a=2，∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=${3}^{lo{g}_{3}{2}^{x}}$-4^x=2^x-4^x，
∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵0≤x≤1，
∴1≤2^x≤2，
∴设t=2^x，则1≤t≤2，
则函数g（x）等价为h（t）=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴h（t）单调递减，
当t=1即x=0时，取得最大值，且为0；
当t=2即x=1时，取得最小值，且为-2．

点评 本题主要考查指数函数和二次函数的性质，利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数是解决本题的关键．