【题目】已知函数.
(1)当时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有最小值,设
最小值为
,求函数
的值域.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】分析:分析题意,该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答,对于
(1),首先将式子进行转化,构造新函数,借助于导数来完成即可;对于(2)利用导数求函数的最值,不难得到函数的最小值为
,则
,再利用导数求出其值域即可.
详解:(1)因为对
恒成立,
等价于对
恒成立,
设
得,
故在
上单调递增,
当时,由上知
,
所以,
即.
所以实数的取值范围为
;
(2)对求导得
记
由(1)知在区间
内单调递增,
又,
所以存在唯一正实数,
使得,
∴当时,
,函数
在区间
单调递减;
时,
,函数
在区间
单调递增;
所以在
内有最小值,
有题设即,
又因为,
所以
根据(1)知,在
内单调递增,
,
所以,
令,
则,
函数在区间
内单调递增,
所以,
即函数的值域为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足.
(1)求函数f(x)和g(x)的表达式;
(2)当时,不等式
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若方程在
上恰有一个实根,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以下给出了4个命题:
(1)两个长度相等的向量一定相等;
(2)相等的向量起点必相同;
(3)若,且
,则
;
(4)若向量的模小于
的模,则
.
其中正确命题的个数共有( )
A.3 个B.2 个C.1 个D.0个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,已知一动圆经过点
且在
轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线
,
,
与曲线
交于
,
两点
与曲线
交于
,
两点,线段
,
的中点分别为
,
,求证:直线
过定点
,并求出定点
的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.
(1)若函数的图像与
轴无交点,求
的取值范围;
(2)若方程在区间
上存在实根,求
的取值范围;
(3)设函数,
,当
时若对任意的
,总存在
,使得
,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设抛物线的焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过点
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设过点的直线
分别与抛物线C交于点D,E和点G,H,且
,求四边形
面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在同一直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C的方程变为
.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为
.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)过点作l的垂线l0交C于A,B两点,点A在x轴上方,求
的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com