Question

【题目】在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；．

【解析】

试题分析：（1）设圆心坐标，利用圆心的半径相等可建立等式，求得曲线的方程；（2）易知两直线的斜率都存在，设直线斜率可得直线方程，与抛物线方程联立可得点坐标，同理可得的坐标，得直线的方程，得其过定点，且得出定点坐标．

试题解析：（1）设圆心，依题意有

，即得，

∴曲线的方程为．

（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，

则直线：，，

由得，

，

∴，，

∴．

同理得．

当或时，直线的方程为；

当且时，直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

∴直线过定点，其坐标为．