【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,若
且
时,有
成立.
(1)判断在
上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对所有的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
或
或
【解析】
(1)利用函数单调性的定义,奇函数的性质,结合,判断
在
上的单调递增;
(2) 根据(1)的结论,以及函数的定义域,列出不等式组,求出x的范围;
(3)根据(1)的结论和条件,将问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0对a∈[-1,1]恒成立,构造函数g(a)= -2ma+m2,进而求得m的取值范围.
任取x1,x2∈[-1,1]且x1<x2,则-x2∈[-1,1],
∵f(x)为奇函数,∴f(-x2)= -f(x2),
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
由已知得>0,
<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,∴ ,解得
(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增,∴在[-1,1]上,f(x)≤1.
问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
设g(a)=-2m·a+m2.
①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必须g(-1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤-2或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2.
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【题目】第一次大考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于分为优秀,
分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下
列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部
人中随机抽取
人为优秀的概率为
.
(I)请完成列联表:
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | |||
乙班 | |||
合计 |
(Ⅱ)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与班级有关系?
参考公式和临界值表:
,其中
.
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【题目】已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∪B=A,求实数m的取值;
(2)若A∩B={x|0≤x≤3},求实数m的值;
(3)若A,求实数m的取值范围.
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【题目】若定义在R上函数的图象关于图象上点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有
且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间
上的零点个数最少有( )
A.2020个B.1768个C.1515个D.1514个
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足.
(1)求函数f(x)和g(x)的表达式;
(2)当时,不等式
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若方程在
上恰有一个实根,求实数m的取值范围.
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【题目】已知向量,
,
,
,函数
,
的最小正周期为
.
(1)求的单调增区间;
(2)方程;在
上有且只有一个解,求实数n的取值范围;
(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得+
+m(
-
)+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,已知一动圆经过点
且在
轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线
,
,
与曲线
交于
,
两点
与曲线
交于
,
两点,线段
,
的中点分别为
,
,求证:直线
过定点
,并求出定点
的坐标.
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