Question

已知P（-2，3）是函数y=

k

x

图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=

k

x

只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D，另一条直线y=

3

2

x+6与x轴、y轴分别交于点A、B．则
（1）O为坐标原点，三角形OCD的面积为

 

．
（2）四边形ABCD面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知可得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，利用导数法求出直线的方程，进而可得C，D两点的坐标，进而得到三角形OCD的面积；
（2）四边形ABCD面积S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△OAD，结合（1）中结论和基本不等式，可得四边形ABCD面积的最小值．

解答： 解：（1）∵P（-2，3）是函数y=

k

x

图象上的点，
故k=-6，即y=

-6

x

，则y′=

6

x2

，
设Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点（a，

-6

a

），（a＞0），
则由题意得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，
故直线CD的方程为：y+

6

a

=

6

a2

（x-a），
令y=0，可得x=2a，即C点坐标为（2a，0），
令x=0，可得y=-

12

a

，即D点坐标为（0，-

12

a

），
故三角形OCD的面积S_△OCD=

1

2

×2a×

12

a

=12，
（2）∵直线y=

3

2

x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
则A（-4，0），B（0，6），
故四边形ABCD面积S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△OAD=

1

2

×4×6+

1

2

×2a×6+

1

2

×4×

12

a

+12=24+6a+

24

a

≥24+2

6a• 24 a

=48，
即四边形ABCD面积的最小值为48，
故答案为：12，48

点评：本题综合考查了三角形的面积，反比例函数的解析式，平行线的性质和判定，菱形的判定，根的判别式，方程组等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大，对学生提出较高的要求．