Question

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集．
（Ⅰ）求参数m的取值范围的集合M；
（Ⅱ）设a，b? M，求证：a+b＜ab+1．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,绝对值不等式

专题：作图题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设函数y=|x-3|+|x-4|，则y=

7-2x， (x≤3) 1 ，(3＜x≤4) 2x-7，(x＞4)

，画出其图象，即可求y_min=1，依题意可知m＞1，于是可得集合M；
（Ⅱ）a，b∈M⇒a＞1，b＞1，作差a+b-（ab+1）后化积，判断即可证得结论成立．

解答： 解：（Ⅰ）设函数y=|x-3|+|x-4|，则y=

7-2x， (x≤3) 1 ，(3＜x≤4) 2x-7，(x＞4)

，画出其图象，

由图可知y_min=1，
要使不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集，需且只需m＞1，
∴m的取值范围的集合M=（1，+∞）；                                  
（Ⅱ）∵a，b∈M，
∴a＞1，b＞1，
∵a+b-（ab+1）=（a-ab）+（b-1）=（a-1）（1-b），
∵a-1＞0，1-b＜0，
∴（a-1）（1-b）＜0，
∴a+b＜ab+1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与推理论证能力，考查作图能力与运算求解能力，属于中档题．