Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a+c=

3 3

2

，b=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得cos(A+C)=-

1

2

，求得cosB=

1

2

，可得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，可得

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

2

，把a+c=

3 3

2

、b=

3

 代入求得ac的值，再根据S△ABC=

1

2

acsinB计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC  得：∴2（cosAcosC-sinAsinC）=-1，
∴cos(A+C)=-

1

2

，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，∴

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

2

，
又a+c=

3 3

2

，b=

3

，∴

27

4

-2ac-3=ac，故ac=

5

4

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

5

4

×

3

2

=

5 3

16

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．